1、基本定义1.1、传递函数对于线性时不变系统或电路传递函数被定义为输出的拉普拉斯变换与输人的拉普拉斯变换之比假设所有初始条件都为零(6.1)式中是输出变量的s域表达式或拉普拉斯变换是输入变量的s域表达式。对于一般情况通过对系统的微分方程或状态方程执行拉普拉斯变换操作来获得传递函数。然而对于线性时不变电路可以通过对电路元器件和变量采用 s域表示并应用基本电路定理从电路图直接导出传递函数。1.2、频率响应在假设系统为正弦输人的情况下频率响应表示线性或线性化系统的输人-输出关系。因此通过用jw代替s域传递函数复频率s来计算频率响应(6.2)式中w是正弦激励的频率。式6.2的幅值关系为幅值响应(6.3)式6.2的相位关系是系统的相位响应(6.4)1.3、伯德图表示频率响应可以以极坐标或伯德图形式显示。在s域分析中这些图形表示都有自己的优势。图6.1a为频率响应的极坐标图其中频率响应被转换为极坐标形式描绘为单纯的曲线。极坐标图中的每个点表示极坐标中的频率响应如图6.1a所示定义了特定频率时的幅值和相位响应。图6.1b所示为频率响应的伯德图。幅值响应首先以dB单位计算即而相位以度数表示。然后将幅值和相位响应独立显示在两个单独的图上。在幅值图中y轴表示dB刻度而频率以x轴的对数刻度显示。在相位图中为线性刻度显示。幅值或相位图中的每个点表示在特定频率处对应的幅值或相位响应。2、乘数因子的伯德图2.1、常数图6.2所示为常数K的伯德图。无论K为正还是为负幅值图都是20logK的水平线。然而K0的相位为0°K0的相位为-180°。2.2、单积分和双积分函数单积分函数为(6.6)用sjw运算得(6.7)分解为幅值响应(6.8)相位响应为(6.9)图6.3a所示为基于式(6.8)和式(6.9)的伯德图。为了简单起见将使用以下数字符号来表示幅值曲线的斜率-2斜率-40dB/dec斜率-1斜率-20dB/dec斜率1斜率20dB/dec斜率2斜率40dB/dec斜率双积分函数为(6.10)用sjw运算得(6.11)分解为幅值响应(6.12)相位响应为(6.13)图6.3b所示为基于式(6.12)和式(6.13)的伯德图。2.3、单微分和双微分函数单微分函数为用sjw运算得分解为幅值响应(6.14)相位响应为(6.15)单微分的伯德图如图6.4a所示。双微分函数为用sjw运算得分解为幅值响应(6.16)相位响应为(6.17)双微分的伯德图如图6.4b所示。2.4、单极点和单零点函数单极点函数为(6.18)用sjw运算得(6.19)分解为幅值响应(6.20)相位响应为(6.21)虽然伯德图可以由式6.20和式6.21精确地绘出但通常不需要找到准确的伯德图。对于渐近的伯德图结构式6.19分裂为三个表达式(6.22)顶部表达式为幅值和相位图提供了低频渐近线。底部表达式产生高频渐近线。中间表达式是在处求解的精确频率响应:(6.23)(6.24)图6.5a所示为与精确图相比较的单极点函数的渐近图。粗线表示渐近图而细线表示精确图。渐近幅值图是通过在处合并低频和高频渐近图形成的。通过将低频和高频渐近线以-45°/dec的斜率从0.1,线性递减到10的线段来构建渐近相位图。渐近幅值图显示了频率范围为的精确图的小偏差的最大误差为3dB,因此极点频率称为3dB频率。渐近相位图也为精确图提供了很好的近似。特别地渐近图在处显示精确的-45°相位。如图6.5a所示通过平滑连接低频和高频渐近线可以构造出具有可忽略和可预测误差的精确伯德图使得组合曲线通过一个精确值。单零点函数为(6.25)近似(6.26)顶部表达式为幅值和相位图提供了低频渐近线。底部表达式产生高频渐近线它是在处与0dB线交叉的单微分函数。中间表达式是在处求解的精确频率响应:(6.27)(6.28)图6.5b所示为单零点函数的渐近和精确伯德图.2.5、双极点和双零点函数双极点函数由下式给出(6.29)式中是双极点频率是阻尼比。0.5的双极点函数近似于(6.30)与单极点函数一样低频渐近线是0dB线。高频渐近线是在处通过0dB线的双重积分函数。的精确响应是(6.31)(6.32)图6.6a所示为双极点函数的渐近曲线。渐近幅值图显示了在的频率范围内的精确曲线的明显差异。特别地精确的幅值图显示了在处的的峰值渐近相位曲线在处通过精确的-90°的点同时在相邻频率处产生一些误差。可以通过在周围的频率下求解式(6.29)来确定双极点函数的精确幅值和相位特性。这种分析表明幅值和相位曲线的变换模式受阻尼比值的强烈影响。图6.7所示为具有不同值(0.58)的频率范围为的双极点函数的精确伯德图。在幅值响应中较大的在处产生较高的峰值导致渐近线和精确曲线之间的差距拉大。关于相位响应较大的加速了周边的相位图的衰减速率从而在较窄的频率范围内表现出更陡峭的相位变化。2.6、RHP极点和RHP零点函数RHP极点函数由下式给出6.35因为极点位于s平面的右半边所以F(s)称为右半平面(RHP)极点函数。用sjw运算得(6.36)幅值响应(6.37)相位响应为(6.38)上述等式表明幅值响应与标准极点函数的方程相同。然而相位响应是零点函数而不是极点函数。图6.8a所示为RHP极点函数的渐近和精确曲线。幅值渐近线在处转折然后以-20dB/dec或-1斜率下降而相位在的频率范围内从0°增加到90°。RHP零点函数的频率响应为(6.39)幅值响应(6.40)相位响应为(6.41)关于相位特性RHP零点与单极点函数的情况相似。图6.8b所示为RHP零点函数的渐近和精确曲线。在RHP零点附近0dB幅值开始以 20dB/dec或1斜率上升而相位从0°线性下降到-90°。RHP零点经常出现在 PWM DC-DC变换器的功率级传递函数中。