这是我人生中发布的第一篇博客刚刚学完高数下第一章各种点、线、面的公式都很容易记混。在整理过程中我试着把线性代数高中知识和这一章的内容串联起来发现这样会更好理解。所以斗胆写下这篇总结希望能帮到同样在这一章挣扎的同学。作为初学者文中如果有哪些理解不够严谨的地方非常欢迎各位大佬在评论区指正我们一起探讨进步思维导图向量代数与空间几何的本质以及做题思路在高数这本书中向量代数与空间几何这一章是很复杂的一章其中即有高中学过的关于向量的知识又有很难理解的空间曲线以及空间曲面的知识。其中像是点线,面距离坐标夹角各种概念混合考察、出现仅靠记忆是很难全部记住的于是我认为如果其和线性代数空间角度的变换一起理解的话便可以构成体系了解课本中的公式是什么为什么。先来说向量是什么吧在这一章里向量顾名思义仅仅代表有长度有方向的量通常以二维三维的形式出现因为他们是自由向量所有其起点基本可以看作原点这样便更易想象和计算。点积求出来的是一个数值可是为什么呢其本质是求解一个向量在另一个向量上投影的长度在乘另一个向量本身的模长由于对偶性两个向量投影向对方的投影乘模长相等。利用此概念便很容易理解为什么一个向量在另一个向量上的投影长度是。叉乘在二维空间和三维空间的概念完全不同课本中仅与三维概念有关就是方向和两个向量垂直长度为两向量所成平行四边形面积。而空间叉乘的本质实际上是给出两个向量与向量i,j,k的行列式寻找一个向量使其与向量i,j,k点乘的值与前者相等什么向量才能满足这一要求呢首先行列式求的是三向量所成体积本质是两向量所成平行四边形面积乘高就是向量i,j,k在与两向量垂直的线上的投影所以要使两者相等未知向量长度必须等于两向量形成的平行四边形方向必须等于高。明确了这两个概念后便容易理解混合积意义了它代表的是三个向量所构成的平行六面体的体积。也就是利用叉乘先求出垂直于底面的向量其长度等于底面面积再将它与第三个向量进行点乘这恰好相当于让底面积乘以第三个向量在法线方向上的投影即高两者相乘即为体积。空间曲面这一部分很抽象很难理解就连画图也很难但根据思维导图中这一部分的解释便很容易理解其中概念。接下来是空间曲线这一部分空间曲线的一般式是由两个曲面的交点来表示而大部分题型都是要我们求出其在一个坐标面上的投影形成的柱面关于这一点我们的做题方法通常是消去一个元求出一个二次方程其代表柱面。可是为什么可以这样呢我觉得可以类似“平面束”的概念来理解我们对给出的两个曲面方程进行加减消元操作本质上是得出了一个包含原空间曲线的新曲面。当我们把其中一个变量彻底消去时得到的新曲面的母线就平行于被消去变量所在的坐标轴此时这就是我们要求的投影柱面。之后便是平面及其方程和直线及其方程的内容。相比于前面这两章的内容更加严谨在这两章中总是要求我们根据给出的点线面求出一个面或是线我是这样理解的同类事物平行是唯一的不同类事物垂直是唯一的。根据题目给出的条件画图即可。不过关于直线和平面还有几种需要特殊方法求解的问题1.给出过一条直线的条件这样的情况最好是求出被过直线的参数式通过两点来求解直线方程。2.直线经过某平面关于这类题只需要平面束方法即可求解其本质是经过这一直线的所有平面的集合。3.求直线在平面上的投影问题这类问题找出一个经过该支线的平面其与待求平面垂直即可。总之这一章的内容在得知了本质后很容易将所有知识点从串联起来而后根据题面找出条件利用其几何原理自动求出合适的方法。